Tính : \(\sqrt[3]{3\sqrt{21}+8}-\sqrt[3]{3\sqrt{21}-8}\)

Đặt: `\root{3}{3\sqrt{21} + 8} = a`

`\root{3}{3\sqrt{21} - 8} = b`

Ta có:

`a^3 - b^3 = 3\sqrt{21} + 8 - (3\sqrt{21} - 8) = 16`

`ab = \root{3}{(3\sqrt{21} + 8)(3\sqrt{21} - 8)} = 5`

Ta có:

`(a - b)^3`

`= a^3 - b^3 - 3ab(a + b)`

`= 16 - 3.5(a - b)`

`⇒ (a - b)^3 + 15(a - b) - 16 = 0`

`⇔ (a - b)^3 - (a - b)^2 + (a - b)^2 - (a - b) + 16(a - b) - 16 = 0`

`⇔ (a - b)^2(a - b - 1) + (a - b)(a - b - 1) + 16(a - b - 1) = 0`

`⇔ (a - b - 1)[(a - b)^2 + (a - b) + 16] = 0`

Vì: `(a - b)^2 + (a - b) + 16 = [(a - b) + 1/2]^2 + 63/4 > 0`

`⇒ a - b - 1 = 0`

`⇔ a - b = 1`

Vậy: `\root{3}{3\sqrt{21} + 8} - \root{3}{3\sqrt{21} - 8} = 1`