Tìm số nguyên dương n sao cho tỉ số của số hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 trong khai triển (1/2+√3)n là 3 căn 2

Đáp án: n=7 và n=15

Giải thích các bước giải:

TH1: $(\frac{1}{2}+\sqrt{3})^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}.(\frac{1}{2})^{n-k}.(\sqrt{3})^k$

Để có số hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 trong khai triển thì k=3;k=4

$\Rightarrow \frac{C_{n}^{4}(\frac{1}{2})^{n-4}.(\sqrt{3})^4}{C_{n}^{3}(\frac{1}{2})^{n-3}.(\sqrt{3})^3}=\frac{\frac{n!}{4!.(n-4)!}.\sqrt{3}}{\frac{n!}{3!.(n-3)!}.\frac{1}{2}}=\frac{(n-3).\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\\
\Rightarrow n=7$

TH2: $(\frac{1}{2}+\sqrt{3})^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}.(\frac{1}{2})^{k}.(\sqrt{3})^{n-k}$

Để có số hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 trong khai triển thì k=3;k=4

$\Rightarrow \frac{C_{n}^{4}(\frac{1}{2})^{4}.(\sqrt{3})^{n-4}}{C_{n}^{3}(\frac{1}{2})^{3}.(\sqrt{3})^{n-3}}=\frac{\frac{n!}{4!.(n-4)!}.\frac{1}{2}}{\frac{n!}{3!.(n-3)!}.\sqrt{3}}=(n-3).\frac{1}{2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\\
\Rightarrow n=15$