1 câu trả lời
$\dfrac{x + 3}{\sqrt{x} - 1}$
`=` $\dfrac{x - 1 + 4}{\sqrt{x} - 1}$
`=` $\dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) + 4}{\sqrt{x} - 1}$
`=` $\dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1}$ `+` $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}$
`=` $\sqrt{x}$ `+ 1` `+` $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}$
`=` $\sqrt{x}$ `- 1` `+` $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}$ `+ 2`
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có:
$\sqrt{x}$ `- 1` `+` $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}$ `≥ 2.`$\sqrt{(\sqrt{x} - 1) . \dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}}$ `= 2.\sqrt{4} = 4`
`⇒` $\sqrt{x}$ `- 1` `+` $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}$ `+ 2` `≥ 2.`$\sqrt{(\sqrt{x} - 1) . \dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}}$ `+ 2` `= 2.\sqrt{4}` `+ 2 = 4 + 2 = 6`
Vậy GTNN của biểu thức là `6`
Dấu `=` xảy ra khi: $\sqrt{x}$ `- 1` `=` $\dfrac{4}{\sqrt{x} - 1}$
`⇔ x = 9`