Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau 1) Y=3sinx+4cosx+5 2) Y=sinx-cosx-3/cosx-sinx+2

Đáp án:

1. GTNN: 0, GTLN: 10

2. GTNN của $y$ là $\dfrac{-4-\sqrt2}2$ và GTLN là $\dfrac{-4+\sqrt2}2$

Giải thích các bước giải:

Ta có công thức: 

$a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin (x + \alpha )$

Với $\cos \alpha  = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha  = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Áp dụng ta có: 

1. $y = 3\sin x + 4\cos x + 5 = 5\sin (x + \alpha ) + 5$

Do  $- 1 \le \sin (x + \alpha ) \le 1$

Nên $-5\le 5\sin (x + \alpha ) \le 5\Rightarrow -5+5\le 5\sin (x + \alpha )+5 \le 5+5$

$\Leftrightarrow 0 \le y \le 10$

Vậy GTNN của y bằng 0, GTLN của y bằng 10.

2. Theo giả thiết ta có: 

$y = {{\sin x - \cos x - 3} \over {\cos x - \sin x + 2}} \Rightarrow y\cos x - y\sin x + 2y = \sin x - \cos x - 3$

$ \Leftrightarrow (y + 1)\cos x - (y + 1)\sin x =  - 3 - 2y$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

$ - 3 - 2y \le \sqrt {{{(y + 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} $

$\Rightarrow 9+4y^2+12y\le2y^2+4y+2$

$\Rightarrow 2y^2+8y+7\le0$

$\dfrac{-4-\sqrt2}2\le y\le\dfrac{-4+\sqrt2}2$

Vậy GTNN của $y$ là $\dfrac{-4-\sqrt2}2$ và GTLN là $\dfrac{-4+\sqrt2}2$.