1 câu trả lời
Đáp án:
`GTN N` của `x/(2-x)+8/x=8<=>x=4/3`
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`x/(2-x)+8/x` `(0<x<2)`
`=x/(2-x)+((8-4x)+4x)/(x)`
`=x/(2-x)+(4(2-x)+4x)/x`
`=x/(2-x)+(4(2-x))/x+(4x)/x`
`=x/(2-x)+(4(2-x))/x+4`
Áp dụng bất đẳng thức `Cauchy` cho hai số không âm `x/(2-x)` và `(4(2-x))/x` ta có:
`x/(2-x)+(4(2-x))/x>=2\sqrt{(x)/(2-x).(4(2-x))/(x)}=2.2=4`
`<=>x/(2-x)+(4(2-x))/x+4>=4+4=8`
Dấu `=` xảy ra khi và chỉ khi:
`x/(2-x)=(4(2-x))/x`
`<=>x^2=4(2-x)^2`
`<=>x^2=4(4-4x+x^2)`
`<=>x^2=16-16x+4x^2`
`<=>x^2-4x^2+16x-16=0`
`<=>-3x^2+16x-16=0`
`<=>3x^2-16x+16=0`
`<=>(3x^2-12x)-(4x-16)=0`
`<=>3x(x-4)-4(x-4)=0`
`<=>(x-4)(3x-4)=0`
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x-4=0\\3x-4=0\end{array} \right.\)
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}x=4(loại)\\x=\dfrac{4}{3}(tm)\end{array} \right.\)
Vậy `GTN N` của `x/(2-x)+8/x=8<=>x=4/3`
Áp dụng:
Bất đẳng thức `Cauchy` cho hai số không âm:
`(a+b)/2>=\sqrt{ab}`
Dấu `=` xảy ra khi và chỉ khi: `a=b`