tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=sinx+cosx+sin2x-1

Đáp án:

GTLN của hàm số là $\dfrac{1}{4}$, đạt tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan (\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arctan(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$

GTNN của hàm số là $-2-\sqrt{2}$ đạt được khi $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Lời giải:

Ta đặt $t = \sin x + \cos x$, khi đó $t = \sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$. Vậy $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ và

$t^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x$

$\Leftrightarrow t^2 = 1 + \sin(2x)$

$\Leftrightarrow \sin(2x) = 1 - t^2$.

Thay vào hso ta có

$y = t + (1-t^2) - 1$

$\Leftrightarrow y = -t^2 + t$

Hàm bậc 2 này có đồ thị là một Parabol úp xuống, với tọa độ đỉnh là $(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4})$.

Ta xét

$y(-\sqrt{2}) = -2-\sqrt{2}, y(\sqrt{2}) = -2 + \sqrt{2}$

Ta thấy $y(-\sqrt{2}) < y(\sqrt{2}) < y(\dfrac{1}{2})$

Vậy GTLN của hàm số là tại $t = \dfrac{1}{2}$ và GTNN của hàm số đạt tại $t = -\sqrt{2}$

Với $t = \dfrac{1}{2}$, ta suy ra $\sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1}{2}$

Vậy $\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

Do đó $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan (\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arctan(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$

Với $t = -\sqrt{2}$, ta suy ra $\sin(x + \dfrac{\pi}{4} = -1$

Vậy $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.

Vậy GTLN của hàm số là $\dfrac{1}{4}$, đạt tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan (\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arctan(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$

Và GTNN của hàm số là $-2-\sqrt{2}$ đạt được khi $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.