Tìm giá trị của m để phương trình 3sinx + (m - 1)cos x = 5 có nghiệm 2) Cho tứ diện ABCD Gọi K và J lần lượt là trung điểm của AD và BC. G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng BCD

Đáp án: 1) $m=\{-3;5\}$

               2) $GK\cap(BCD)=GK\cap ID=M$

Giải thích các bước giải:

1) $3\sin x+(m-1)\cos x=5$

$\Rightarrow \dfrac{3}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}\sin x+\dfrac{m-1}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}\cos x=\dfrac{5}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}$

Đặt $\dfrac{3}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}=\cos \alpha$

Và $\dfrac{m-1}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}=\sin \alpha$

Ta có phương trình

$\cos\alpha\sin x+\sin\alpha\cos x=\dfrac{5}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}$

$\Rightarrow \sin(x+\alpha)=\dfrac{5}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}$

Do $-1\le\sin x\le1$ $\forall x$

Nên $-1\le\dfrac{5}{\sqrt{3^2+(m-1)^2}}\le1$

$\Rightarrow -\sqrt{3^2+(m-1)^2}\le 5$ và $5\le\sqrt{3^2+(m-1)^2}$

Do $ 5+(\sqrt{3^2+(m-1)^2})\ge0$ $\forall m$

và $\sqrt{3^2+(m-1)^2}\ge5$

$\Rightarrow \sqrt{m^2-2m+10}\ge5$

Do $m^2-2m+10\ge0$ $\forall m$ và $m^2-2m+10\le25$

$\Rightarrow m=5$ (thỏa mãn) hoặc $m=-3$ (thỏa mãn)

Vậy với $m=\{-3;5\}$ thì phương trình thỏa mãn.

2) Do $GK$ và $ID$ cùng thuộc $(AID)$ nên $GK$ cắt được $ID$

$\Rightarrow GK\cap(BCD)=GK\cap ID=M$