Tìm giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm, vô nghiệm a) $x^{2}$ -mx+m +3=0 b) $x^{2}$ -2(m-1)x+m+5=0
2 câu trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a) x^2-mx+m +3=0$
Phương trình có nghiệm
$\Rightarrow \Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow m^2-4(m +3) \ge 0\\ \Leftrightarrow m^2 - 4 m - 12 \ge 0\\ \Leftrightarrow m^2 - 4 m +4- 16 \ge 0\\ \Leftrightarrow (m-2)^2- 4^2\ge 0\\ \Leftrightarrow (m-6)(m+2)\ge 0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m \ge 6 \\ m \le -2\end{array} \right.$
Phương trình vô nghiệm
$\Leftrightarrow \Delta < 0\\ \Leftrightarrow (m-6)(m+2) < 0\\ \Leftrightarrow -2<m<6\\ b)x^2-2(m-1)x+m+5=0$
Phương trình có nghiệm
$\Rightarrow \Delta' \ge 0\\ \Leftrightarrow (m-1)^2-(m+5)\ge 0\\ \Leftrightarrow m^2 - 3 m - 4\ge 0\\ \Leftrightarrow m^2+m - 4 m - 4\ge 0\\ \Leftrightarrow m(m+1) - 4( m+1)\ge 0\\ \Leftrightarrow (m- 4)(m+1) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m \ge 4 \\ m \le -1 \end{array} \right.$
Phương trình vô nghiệm
$\Leftrightarrow \Delta' < 0\\ \Leftrightarrow (m- 4)(m+1) < 0\\ \Leftrightarrow -1<m<4.$
a,
Pt `x^2-mx +m+3=0` (*)
Để pt (*) có nghiệm thì `Δ>= 0`
`-> (-m)^2 - 4 . 1 . (m+3)>=0`
`<=> m^2 - 4m - 12>=0`
`<=> (m^2-4m+4)-16>=0`
`<=> (m-2)^2-4^2>=0`
`<=> (m-2-4)(m-2+4)>=0`
`<=> (m-6)(m+2)>=0`
TH1 : `m-6>= 0, m+2>=0`
`<=> m>= 6` (Nhận), `m\le -2` (Loại)
TH2 : `m-6\le 0, m+2\le 0`
`<=> m\le 6` (Loại), `m\le -2` (Nhận)
Vậy `m>=6` hoặc `m\le -2` để pt (*) có nghiệm
Để pt (*) vô nghiệm thì `Δ < 0`
`-> (-m)^2 - 4.1.(m+3)<0`
`<=> m^2 - 4m-12<0`
`<=> (m^2-4m+4)-16<0`
`<=> (m-2)^2-16<0`
`<=> (m-2-4)(m-2+4)<0`
`<=> (m-6)(m+2)<0`
TH1 : `m-6<0, m+2>0`
`<=> m<6, m> -2`
`<=> -2<m<6`
TH2 : `m-6>0,m+2<0`
`<=> m>6, m< -2` (Loại)
Vậy `-2<m<6` để pt (*) vô nghiệm
b,
Pt `x^2-2(m-1)x+m+5=0` (*)
Để pt (*) có nghiệm thì `Δ'>= 0`
`-> (m-1)^2 -1 (m+5)>=0`
`<=> (m-1)^2 - m-5>=0`
`<=> m^2-2m+1-m-5>=0`
`<=> m^2-3m-4>=0`
`<=> (m-4)(m+1)>=0`
TH1 : `m-4>=0,m+1>=0`
`<=> m>=4` (Nhận), `m>=-1` (Loại)
TH2 : `m-4\le 0,m+1\le 0`
`<=> m\le 4` (Loại), `m\le -1` (Nhận)
Vậy `m> =4` hoặc `m\le -1` thì pt (*) có nghiệm
Để pt (*) vô nghiệm thì `Δ'<0`
`-> (m-1)^2- 1 (m+5)<0`
`<=> (m-4)(m+1)<0`
TH1 : `m-4<0,m+1>0`
`<=> m<4,m > -1`
`<=> -1<m<4`
TH2 : `m-4>0, m+1<0`
`<=> m>4, m< -1`
`<=> 4<m<-1` (Loại)
Vậy `-1<m<4` để pt (*) vô nghiệm