Sin^3 x + cos ^3 x = 2-1/2 sin 2x

Đáp án:

Vô nghiệm.

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2 - \dfrac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 2 - \sin x\cos x\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}t\left( {1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = 2 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{t\left( {3 - {t^2}} \right)}}{2} = \dfrac{{5 - {t^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow 3t - {t^3} = 5 - {t^2}\\ \Leftrightarrow {t^3} - {t^2} - 3t + 5 = 0\\ \Leftrightarrow t \approx  - 1,919 \notin \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.