Sin^2x+sin^2 2x+sin^2 3x

Nhân đôi 2 vế và áp dụng công thức hạ bậc ta có

$$\cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 3$$

Đặt $t = 2x$ áp dụng công thức nhân 2 và nhân 3 ta có

$$\cos t + 2\cos^2t-1 + 4\cos^3t - 3\cos t = 3$$

$$<-> 4\cos^3t + 2\cos^2t - 2\cos t -4 = 0$$

$$<-> (\cos t -1)( 4 \cos^2t +6\cos t+4) = 0$$

Vậy ta có $\cos t = 1$ hoặc $2\cos^2t + 3\cos t +4 = 0$

Do đó $t = 2k\pi$ hay $x = k\pi$.

Ta có

$$2\cos^2t + 3\cos t + 4 = 2(\cos^2t + \dfrac{3}{2} \cos t + 2) = 2(\cos t + \dfrac{3}{4})^2 +\dfrac{23}{8}>0 \forall t$$

Vậy nghiệm của ptrinh là $x = k\pi$.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Nhân đôi 2 vế và áp dụng công thức hạ bậc ta có

cos(2x)+cos(4x)+cos(6x)=3cos⁡(2x)+cos⁡(4x)+cos⁡(6x)=3

Đặt t=2xt=2x áp dụng công thức nhân 2 và nhân 3 ta có

cost+2cos2t−1+4cos3t−3cost=3cos⁡t+2cos2⁡t−1+4cos3⁡t−3cos⁡t=3

<−>4cos3t+2cos2t−2cost−4=0<−>4cos3⁡t+2cos2⁡t−2cos⁡t−4=0

<−>(cost−1)(4cos2t+6cost+4)=0<−>(cos⁡t−1)(4cos2⁡t+6cos⁡t+4)=0

Vậy ta có cost=1cos⁡t=1 hoặc 2cos2t+3cost+4=02cos2⁡t+3cos⁡t+4=0

Do đó t=2kπt=2kπ hay x=kπx=kπ.

Ta có

2cos2t+3cost+4=2(cos2t+32cost+2)=2(cost+34)2+238>0∀t2cos2⁡t+3cos⁡t+4=2(cos2⁡t+32cos⁡t+2)=2(cos⁡t+34)2+238>0∀t

Vậy nghiệm của ptrinh là x=kπx=kπ.