Ở một trường mầm non, cô giáo mua về 11 quả cam, 14 quả quýt, 15 quả lê bổ sung dinh dưỡng cho 20 trẻ suy dinh dưỡng trong đó có An, Bình, Thúy. Mỗi trẻ 2 quả khác loại. Xác suất để An, Bình và Thúy nhận cùng loại quả giống nhau ?

Đáp án:$\dfrac{1}{10}$

Giải thích các bước giải:

3 trẻ nhận 3 phần quả khác nhau nên chúng chỉ có thể nhận: cam+quýt, cam+lê, quýt+lê

th1: cam+quýt

Gọi x là số phần cam+quýt ta có:

$11+14-2x=15 \rightarrow x=5\rightarrow\text{Số cách chia: }a=C^2_{17}.C^6_{15}$

th2: cam+lê

Tương tự suy ra x=6 suy ra số cách chia là: $ b=C^3_{17}.C^5_{14}$

th3:quýt+lê

Tương tự suy ra x=9 suy ra số cách chia là: $c=C^6_{17}.C^5_{11}$

Số cách chia mỗi trẻ 2 quả khác loại là:

$\Omega = \dfrac{20!}{5!.6!.9!}$

$uy ra xác suất là:

$P=\dfrac{a+b+c}{\Omega}=\dfrac{1}{10}$

Đáp án: $\dfrac{1}{10}$

Giải thích các bước giải:

Mỗi trẻ được nhận 1 trong 3 nhóm quả sau: (cam, quýt); (cam, lê) và (quýt, lê)

Giả sử số trẻ nhận nhóm quả I:(cam, quýt) là $x$

Số trẻ nhận nhóm quả II:(cam, lê) là $y$

Số trẻ nhận nhóm quả III:(quýt, lê) là $z$

Ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l} x+y+z=20\\ x+y=11 \\ x+z=14\\ y+z=15\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=6 \\ z=9\end{array} \right.$

Không gian mẫu là chọn 5 em trong 20 em nhận nhóm I, chọn 6 em trong 15 em còn lại nhận loại II và chọn 9 em trong 9 em còn lại nhận nhóm III

$n(\Omega)=C_{20}^5.C_{15}^6.C_9^9=C_{20}^5.C_{15}^6$

Gọi $A$ là biến cố: "An, Bình và Thúy nhận cùng loại quả"

Th1: An, Bình, Thúy nhận cùng nhóm quả I:

An, Bình, Thúy nhận nhóm quả I có 1 cách

Chọn 2 em trong 17 em còn lại nhận nhóm quả I có $C_{17}^2$ cách

Chọn 6 em trong 15 em còn lại nhận nhóm quả II có $C_{15}^6$ cách

Chọn 9 em trong 9 em còn lại nhận nhóm quả III có $C_9^9$ cách

Do đó Th1 có $1.C_{17}^2.C_{15}^6.C_9^9=C_{17}^2.C_{15}^6$ cách

Th2: An, Bình, Thúy nhận cùng nhóm quả II:

An, Bình, Thúy nhận nhóm quả II có 1 cách

Chọn 5 em trong 17 em còn lại nhận nhóm quà I có $C_{17}^5$ cách

Chọn 3 em trong 12 em còn lại nhận nhóm quà II có $C_{12}^3$ cách

Chọn 9 em trong 9 em còn lại nhận nhóm quà II có $C_9^9$ cách

Do đó Th1 có $1.C_{17}^5.C_{12}^3.C_9^9=C_{17}^5.C_{12}^3$ cách

Th3: An, Bình, Thúy nhận cùng nhóm quả III

An, Bình, Thúy nhận nhóm quả III có 1 cách

Chọn 5 em trong 17 em còn lại nhận nhóm quà I có $C_{17}^5$ cách

Chọn 6 em trong 12 em còn lại nhận nhóm quà II có $C_{12}^6$ cách

Chọn 6 em trong 6 em còn lại nhận nhóm quà II có $C_6^6$ cách

Do đó Th1 có $1.C_{17}^5.C_{12}^6.C_6^6=C_{17}^5.C_{12}^6$ cách

$\Rightarrow n(A)=C_{17}^2.C_{15}^6+C_{17}^5.C_{12}^3+C_{17}^5.C_{12}^6$

Xác suất để An, Bình và Thúy nhận cùng loại quả là:

$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$

$=\dfrac{C_{17}^2.C_{15}^6+C_{17}^5.C_{12}^3+C_{17}^5.C_{12}^6}{C_{20}^5.C_{15}^6}$

$=\dfrac{1}{10}$