Mn giải hộ em vs em cần gấp để nôp .Tìm số hạng x^6 trong khai triển (1-3x+x^2)^8

Đáp án:

Số  hạng của \(x^6\) trong khai triển là: \(46928{x^6}.\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 - 3x + {x^2}} \right)^8} = {\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^k}{{.1}^{8 - k}}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{x^{2i}}{{\left( { - 3x} \right)}^{k - i}}}  = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} \sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 3} \right)}^{k - i}}C_k^i{x^{i + k}}} \end{array}\)

Để có hệ số của \({x^6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}i + k = 6\\0 \le i \le k \le 8\\i,\,\,k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = 0\\k = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 1\\k = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 2\\k = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 3\\k = 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy số hạng của \({x^6}\) trong khai triển là:

\(\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^6}C_8^6C_6^0 + {{\left( { - 3} \right)}^4}C_8^5C_5^1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}C_8^4C_4^2 + {{\left( { - 3} \right)}^0}C_8^3C_3^3} \right]{x^6} = 46928{x^6}.\)