giải phương trình nghiệm nguyên dương `(x^3-y^3) +3(x^2-y^2)+3(x-y)=(x+1)(y+1)+25`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ z = x + 1; t = y + 1$

$ PT <=> z^{3} - t^{3} = zt + 25 (1)$

$ <=> (z - t)^{3} + 3zt(z - t) = zt + 25$

Đặt $ u = z - t; v = zt$

$ PT <=> v(3u - 1) = - u^{3} + 25$

$ <=> v = \dfrac{- u^{3} + 25}{3u - 1} (1)$

$ <=> 27v = - (9u^{2} + 3u + 1) + \dfrac{674}{3u - 1}$

$ => 3u - 1$ là ước của $ 674 = 1.2.337$

$ => 3u - 1 = - 337; - 1; 2; 674 => u = - 112; 0; 1; 225$

- Với $ : u = - 112$ thay vào $(1) => v = 4169$

$ z; - t $ là nghiệm PT $ : X^{2} + 112X - 4196 = 0 $

$ => z; t $ ko nguyên => VN

- Với $ : u = 0$ thay vào $(1) => v = - 25$

$ => z; - t $ là nghiệm PT $ : X^{2} + 25 = 0 $

- Với $ : u = 1$ thay vào $(1) => v = 12$

$ => z; - t $ là nghiệm PT $: X^{2} - X - 12 = 0$

$ => (z; t ) = (- 3; - 4); (4; 3) => (x; y) = (- 4; - 5); (3; 2)$

- Với $ : u = 225$ thay vào $(1) => 16900$

$ z; - t $ là nghiệm PT $ : X^{2} - 225X - 16900 = 0 $

$ z; t$ ko nguyên => VN

KL $ (x; y) = (-4;-5);(3;2)$