Giải phương trình đối xứng gần đối xứng (1- √2) (1+sinx+cosx) = sin2x

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$. Vậy $|t| \leq \sqrt{2}$ và

$$t^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin(2x)$$

Vậy $\sin(2x) = t^2-1$.

Ptrinh tương đương vs

$(1 - \sqrt{2})(1+t) = t^2 -1$

<->$ t^2 +(\sqrt{2}-1) t + \sqrt{2} -2 = 0$

Ta có

$\Delta = (\sqrt{2}-1)^2 -4(\sqrt{2}-2) = 11 - 6\sqrt{2} = (3- \sqrt{2})^2$

Vậy 2 nghiệm của ptrinh là

$t_1 = \dfrac{-\sqrt{2}+1 -3+ \sqrt{2}}{2} = -1, t_2 = \dfrac{-\sqrt{2}+1 + 3 - \sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$

TH1: t = -1

Ta có

$\sin x + \cos x = -1$

<->$ \sqrt{2} (\sin x \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = -1$

<->$\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \sin(-\dfrac{\pi}{4})$

<->$ x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

<->$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$

TH2: $t = 2 - \sqrt{2}$

Giải tương tự trường hợp trên ta có

$\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \sqrt{2} - 1$

<->$x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin(\sqrt{2} - 1) + 2k\pi$ hoặc $x + \dfrac{\pi}{4} = \pi - \arcsin(\sqrt{2}-1) + 2k\pi$

<->$x = \arcsin(\sqrt{2} - 1) - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = -\arcsin(\sqrt{2} - 1) - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$

Vậy nghiệm của ptrinh là $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ hoặc $x = \arcsin(\sqrt{2} - 1) - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$ hoặc $x = -\arcsin(\sqrt{2} - 1) - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$