Giải phương trình: (3cosx - 4sinx - 6) ^2 +2 = -3(3cosx - 4sinx - 6)

Đáp án:

$x=-\arccos\dfrac35+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

và $ x=-\arccos\dfrac35\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

Lời giải:

$(3\cos x-4\sin x-6)^2+2=-3(3\cos x-4\sin x-6)$

Đặt $3\cos x-4\sin x-6=t$

Phương trình tương đường:

$t^2+2=-3t$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}t=-1\\t=-2\end{array}\right.$

Với $t=-1$ ta có:

$3\cos x-4\sin x-6=-1$

$\Leftrightarrow3\cos x-4\sin x=5$

$\Leftrightarrow\dfrac35\cos x-\dfrac45\sin x=1$

Đặt $\dfrac35=\cos\alpha\Rightarrow\dfrac45=\sin\alpha$ (vì $(\dfrac35)^2+(\dfrac45)^2=1$)

$\Leftrightarrow \cos\alpha\cos x-\sin\alpha\sin x=1$

$\Leftrightarrow \cos(x+\alpha)=1$

$\Leftrightarrow x+\alpha=k2\pi$

$\Leftrightarrow x=-\alpha+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=-\arccos\dfrac35+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$

Với $t=-2$ ta có:

$3\cos x-4\sin x-6=-2$

$\Leftrightarrow3\cos x-4\sin x=4$

$\Leftrightarrow\dfrac35\cos x-\dfrac45\sin x=\dfrac45$

Đặt $\begin{cases}\cos\phi=\dfrac35\\\sin\phi=\dfrac45\end{cases}$

Ta có:

$\cos(x+\phi)=\dfrac45$

$\Leftrightarrow x+\phi=\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=-\phi\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=-\arccos\dfrac35\pm\arccos\dfrac45+k2\pi$ $(k\in\mathbb Z)$