giải phương trình: $\frac{2(cos^{6}x+sin^{6}x)-sinx.cosx}{\sqrt[]{2}-2sinx }$=0

Đáp án:

\(
x = \frac{\pi }{4} + (2m + 1)\pi (m \in Z)
\)
 Giải thích các bước giải:

Điều kiện xác định: 

\(
\begin{array}{l}
 \sqrt 2  - 2\sin x \ne 0 \\ 
  \Leftrightarrow \sin x \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ 
  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {x \ne \frac{\pi }{4} + k2\pi }  \\
   {x \ne \frac{{3\pi }}{4} + l2\pi }  \\
\end{array}} \right.(k,l \in Z) \\ 
 \end{array}
\)

Với điều kiện xác định như trên, phương trình tương đương với: 

\(
\begin{array}{l}
 2(\cos ^6 x + \sin ^6 x) - \sin x.\cos x = 0 \\ 
  \Leftrightarrow 2\left[ {(\cos ^2 x + \sin ^2 x)^3  - 3\cos ^2 x.\sin ^2 x(\cos ^2 x + \sin ^2 x)} \right] - \frac{1}{2}\sin 2x = 0 \\ 
  \Leftrightarrow 2(1 - 3\sin ^2 x.\cos ^2 x) - \frac{1}{2}\sin 2x = 0 \\ 
  \Leftrightarrow 2 - 2.\frac{3}{4}\sin ^2 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = 0 \\ 
  \Leftrightarrow  - \frac{3}{2}\sin ^2 2x - \frac{1}{2}\sin 2x + 2 = 0 \\ 
  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}c}
   {\sin 2x = 1}  \\
   {\sin 2x = \frac{{ - 4}}{3}(l)}  \\
\end{array}} \right. \\ 
  \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \\ 
  \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in Z) \\ 
  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in Z) \\ 
 \end{array}
\)
Kết hợp với điều kiện xác định: 
\(
x = \frac{\pi }{4} + (2m + 1)\pi (m \in Z)
\)

Bạn xem hình