Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả trứng lành là 29/84. Tìm số trứng lành trong giỏ A.

Biết xác suất để lấy được hai trứng lành là $\dfrac{55}{84}$

Đáp án: Số trứng lành trong giỏ $A$ là $11$ quả.

Giải thích các bước giải:

Gọi $A$ là số trứng lành trong giỏ $A$,

$\overline A$ là số trứng hỏng trong giỏ $A$

Như vậy trong giỏ $A$ có $A+\overline A$ quả trứng

Gọi $B$ là số trứng lành trong giỏ $B$,

$\overline B$ là số trứng hỏng trong giỏ $B$

Trong giỏ $B$ có $B+\overline B$ quả trứng

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên mỗi quả trứng từ 2 giỏ

$n(\Omega)=C_{A+\overline A}^1+C_{B+\overline B}^1=(A+\overline A)(B+\overline B)$

Gọi $D$ là biến cố "2 quả trứng lấy ra đều là trứng lành"

Chọn 1 quả trứng từ $A$ quả trứng lành ở giỏ A có $C_A^1=A$ cách

Chọn 1 quả trứng từ $B$ quả trứng lành ở giỏ B có $C_B^1=B$ cách

Số phần tử của biến cố $D$ là:

$n(D)=A.B$

Xác suất để chọn ra 2 quả trứng đều là trứng lành là:

$P(D)=\dfrac{n(D)}{n(\Omega)}=\dfrac{A.B}{(A+\overline A)(B+\overline B)}=\dfrac{55}{84}$

Giả sử $A.B=55\Rightarrow A.B=1.55=55.1=11.5=5.11$

Nhận được trường hợp $A.B=11.5=5.11$ vì tổng số trứng trong 2 giỏ là $20$

Th1: $A.B=11.5$

Khi đó ta có: $(11+\overline A)(5+\overline B)=84$

$\Rightarrow 55+11\overline B+5\overline A+\overline A.\overline B=84$

$\Rightarrow 55+5(\overline A+\overline B)+6\overline B+\overline A.\overline B=84$

$\Rightarrow 6\overline B+\overline A.\overline B=9$

Do số trứng thuộc số tự nhiên

Như vậy $\overline B=1\Rightarrow \overline A=3$ khi đó số trứng trong giỏ A lớn hơn trong giỏ B (thỏa mãn)

Nếu $\overline B=0\Rightarrow VT=0$ (loại)

Nếu $\overline B>1$ giả sử là 2 thì $VT>9$

Vậy số trứng lành trong giải $A$ là 11 quả.

Trường hợp $A.B=5.11$ loại vì nếu giải ra sẽ ra số trứng trong giỏ A< số trứng trong giỏ B, như vậy trái với đề bài.