CMR với mọi n thuộc Nsao ta có 1×4+2×7+3×10+....+n(3n+1)=n(n+1)2

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Với n=1: Vế trái=4; Vế phải=1.(1+1)$^{2}$=4

Giả sử mệnh đề đúng với n=k (k$\geq$1): 1.4+2.7+3.10+..+k(3k+1)=k(k+1)$^{2}$

Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1:

1.4+2.7+3.10+...+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)$^{2}$

Ta có: 1.4+2.7+3.10+...+(k+1)(3k+4)=1.4+2.7+3.10+..+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)

Áp dụng giả thiết quy nạp: k(k+1)$^{2}$+(k+1)(3k+4)=k(k$^{2}$+2k+1)+(3k$^{2}$+7k+4)

<=>k$^{3}$+2k$^{2}$+k+3k$^{2}$+7k+4=k$^{3}$+5k$^{2}$+8k+4 (1)

Lại có: Vế phải=(k+1)(k$^{2}$+4k+4)=k$^{3}$+5k$^{2}$+8k+4 (2)

Từ (1),(2) =>1×4+2×7+3×10+....+n(3n+1)=n(n+1)2 đúng với mọi n∈N$^{*}$