Chứng minh rằng với n thuộc N ta có đăng thức 2+5+8+...+(3n-1)=n(3n+1)/2

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $n$.

Với $n = 1$, ta có

$2 = \dfrac{1(3.1+1)}{2}$

Vậy đẳng thức đúng vs 1.

Giả sử đẳng thức đúng vs $k = n$. Ta sẽ cminh nó đúng với $k+1 = n +1$. Vậy ta cần cminh

$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1] = \dfrac{(n+1)[3(n+1)+1]}{2} = \dfrac{(n+1)(3n+4)}{2}$

THật vậy, ta có

$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1] = [2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1)] + (3n + 2)$

Theo giả thiết quy nạp ta có

$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) = \dfrac{n(3n+1)}{2}$

THay vào ta có

$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1] = \dfrac{n(3n+1)}{2} + (3n+2)$

$= \dfrac{3n^2 + n + 6n + 4}{2}$

$= \dfrac{3n^2 + 7n + 4}{2}$

$= \dfrac{(n+1)(3n+4)}{2}$

Vậy

$2 + 5 + 8 +\cdots + (3n-1) + [3(n+1)-1]= \dfrac{(n+1)(3n+4)}{2}$

Vậy đẳng thức đúng vs $k = n+1$

Vậy ta có đpcm.