Chứng minh a2 + b2 lớn hơn hoặc bằng 1/2 với a+b lớn hơn hoặc bằng 1.

Ta có: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ (Theo BĐT Cô - Si)

$\Longleftrightarrow 2\sqrt{ab} \le a + b $

$\Longleftrightarrow 2\sqrt{ab} \le 1 $

$\Longleftrightarrow \sqrt{ab} \le \dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow ab \le \dfrac{1}{4}$

$\Longleftrightarrow 2ab \le \dfrac{1}{2}$

$\Longleftrightarrow -2ab \ge -\dfrac{1}{2}$

Lại có: $(a + b)^2 = 1^2$

$\Longleftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 1$

$\Longleftrightarrow a^2 + b^2 = 1 - 2ab $

$\Longleftrightarrow a^2 + b^2 = -2ab + 1 \ge \dfrac{1}{2}$  

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi: $a = b = \dfrac{1}{2}$

Chúc bạn học tốt và năm mới vui vẻ =))