Cho x/z=z/y Chứng minh rằng x^2+z^2/y^2+z^2=x/y

Đáp án:

Giải thích các bước giải: $\begin{array}{l} Dat\,\frac{x}{z} = \frac{z}{y} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = tz\\ z = ty \end{array} \right. \Rightarrow x = {t^2}y\\ \Rightarrow \frac{{{x^2} + {z^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} = \frac{{{{\left( {{t^2}y} \right)}^2} + {{\left( {ty} \right)}^2}}}{{{y^2} + {{\left( {ty} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{t^4}{y^2} + {t^2}{y^2}}}{{{y^2} + {t^2}{y^2}}} = \frac{{{t^2}{y^2}\left( {{t^2} + 1} \right)}}{{{y^2}\left( {{t^2} + 1} \right)}} = {t^2}\\ Ma\,\frac{x}{y} = \frac{{{t^2}y}}{y} = {t^2}\\ Nen\,\frac{{{x^2} + {z^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} = \frac{x}{y} \end{array}$

Ta có : x/z = z/y ( y,z khác 0 )

⇒ z^2 = xy

⇒ x^2+z^2/y^2+z^2 = x^2+xy/y^2+xy

= x(x + y) / y(y + x)

= x/y

Vậy x^2+z^2/y^2+z^2 = x/y

( đpcm )