`\text{Cho x, y ,z > 0 và xy + yz + zx = 1. Tính tổng:}` `S=x\sqrt{((1+y^2)(1+z^2))/(1+x^2)}+y\sqrt{((1+z^2)(1+x^2))/(1+y^2)}+z\sqrt{((1+x^2)(1+y^2))/(1+z^2)}`
2 câu trả lời
Theo đề ta có:
Với `1+x^2`, ta có:
`xy+yz+xz+x^2`
`=y(x+z)+x(z+x)`
`=(x+z)(x+y)`
Với `1+y^2`, ta có:
`xy+yz+xz+y^2`
`=y(y+z)+x(z+y)`
`=(x+y)(y+z)`
Với `1+z^2`, ta có:
`xy+yz+xz+z^2`
`=y(x+z)+z(z+x)`
`=(x+z)(y+z)`
Nên ta có:
`S=x\sqrt{((x+y)(y+z)(z+x)(z+y))/((x+y)(x+z))}+y\sqrt{((x+z)(y+z)(x+z)(x+y))/((x+y)(y+z))}+z\sqrt{((x+z)(x+y)(x+y)(y+z))/((x+z)(y+z))}`
`=>S=x\sqrt{(y+z)^2}+y\sqrt{(x+z)^2}+z\sqrt{(x+y)^2}`
`=x|y+z|+y|x+z|+z|x+y|`
`=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)`
`=xy+xz+yx+yz+zx+yz`
`=2(xy+yz+zx)(\text{do}xy+yz+zx=1)`
`=2.1`
`=2`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm