Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. E là trung điểm của AD, F là điểm đối xứng với D qua B. Tính diện tích thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (EFC)

Giải thích các bước giải:

Gọi I là giao điểm của FE và AB

Suy ra thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (EFC) là tam giác ICE

Áp dụng định lí Mê - nê - na -uýt cho tam ABD có F,I,E thẳng hàng ta có:

\[\begin{array}{l}
\frac{{AI}}{{IB}}.\frac{{BF}}{{FD}}.\frac{{DE}}{{EA}} = 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{AI}}{{IB}}.\frac{1}{2}.1 = 1\\
 \Leftrightarrow \frac{{AI}}{{IB}} = 1
\end{array}\]

ABCD là tứ diện đều cạnh a nên ta có:

\[\begin{array}{l}
CE = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\\
E{I^2} = A{E^2} + A{I^2} - 2AE.AI.\cos 60^\circ \\
 \Leftrightarrow E{I^2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3}.\cos 60\\
 \Rightarrow EI = \frac{{\sqrt {13} }}{6}a\\
C{I^2} = C{A^2} + A{I^2} - 2CA.AI.\cos 60\\
 \Leftrightarrow C{I^2} = {a^2} + {\left( {\frac{2}{3}a} \right)^2} - 2a.\frac{2}{3}a.\frac{1}{2}\\
 \Rightarrow CI = \frac{{\sqrt 7 }}{3}a\\
p = \frac{{CI + IE + CE}}{2}\\
 \Rightarrow {S_{CIE}} = \sqrt {p\left( {p - CI} \right)\left( {p - IE} \right)\left( {p - CE} \right)}  = \frac{{\sqrt {35} }}{{24}}
\end{array}\]