Cho tứ diện ABCD, gọi M,N,P,Q,R,S là trung điểm của ab, cd, bc, ad,ac, bd. Cmr MPNQ là hình bình hành. Và MN,PQ,RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

Giải thích các bước giải:

Xét tam giác $ABD$ có:

$M,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$

$\to MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$

$\to MQ//BD;MQ=\dfrac{1}{2}BD(1)$

Chứng minh tương tự ta có:

$NP$ là đường trung bình của tam giác $CBD$

$\to NP//BD;NP=\dfrac{1}{2}BD(2)$

Từ $(1),(2)$ $\to MQ//NP;MQ=NP$

$\to MQNP$ là hình bình hành.

$\to MN,PQ$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Gọi $E=MN\cap PQ$

Khi đó: $E$ là trung điểm của $MN,PQ$

Lại có:

$Q,R$ lần lượt là trung điểm của $AD,AC$

$\to QR$ là đường trung bình của tam giác $ACD$

$\to QR//CD;QR=\dfrac{1}{2}CD$

Chứng minh tương tự ta có:

$PS$ là đường trung bình của tam giác $BCD$

$\to PS//CD;PS=\dfrac{1}{2}CD$

$\to QR//PS;QR=PS$

$\to PSQR$ là hình bình hành.

$\to PQ,SR$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $E$ là trung điểm $PQ$

$\to E$ là trung điểm của $SR$

Như vậy: $MN,PQ,SR$ đồng quy tại $E$ là trung điểm của $3$ đường.