Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD, AC,BD và G là giao điểm của MN và PQ. Tính diện tích tam giác GAB?

Đáp án: $\frac{a^{2}\sqrt[]{15}}{36}$ 

Giải thích các bước giải:

Tứ diện ABCD có cạnh bằng a ⇒ ABCD là tứ diện đều

Gọi G' = CQ ∩ DM ⇒ G' là trọng tâm ΔBCD ⇒ AG' là đường cao của tứ diện và AG = $\frac{2}{3}$.AG'

ΔBCD đều cạnh a ⇒ DM = CQ =$\sqrt[]{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt[]{3}}{2}$ 

⇒ DG' = $\frac{2}{3}$.DM = $\frac{a\sqrt[]{3}}{3}$

⇒ AG' = $\sqrt[]{AD^{2}-DG'^{2}}$ = $\sqrt[]{a^{2}-(\frac{a\sqrt[]{3}}{3})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt[]{6}}{3}$ 

⇒ AG = $\frac{2}{3}$.AG' = $\frac{2a\sqrt[]{6}}{9}$ 

ΔGAB cân tại G có đáy AB = a; cạnh  bên AG = AB = $\frac{2a\sqrt[]{6}}{9}$ 

⇒ Đường cao = $\sqrt[]{(\frac{2a\sqrt[]{6}}{9})^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt[]{15}}{18}$ 

⇒ S = $\frac{a\sqrt[]{15}}{18}$.a : 2 = $\frac{a^{2}\sqrt[]{15}}{36}$