Cho tổng An=1+4+7....+(3n-2). a, TÍNH A1,A2,A3 b, Dự đoán công thức An và chứng minh bằng quy nạp

Đáp án:

a)

\(\begin{array}{l}{A_1} = 1\\{A_2} = 5\\{A_3} = 12\end{array}\)

b) \({A_n} = \frac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\).

Giải thích các bước giải:

\({A_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)\)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{A_1} = 1\\{A_2} = 1 + 4 = 5\\{A_3} = 1 + 4 + 7 = 12\end{array}\)

b) Dự đoán công thức SHTQ \({A_n} = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}\,\,\left( 1 \right)\).

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \({A_1} = \dfrac{{1.2}}{2} = 1\) (đúng)

Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k \ge 1\), tức là

\(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3k - 2} \right) = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}\).

Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n = k\), tức là cần chứng minh

\(1 + 4 + 7 + ... + \left( {3k - 2} \right) + \left( {3k + 1} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\) (2).

Theo giả thiết quy nạp ta có:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {A_k} + \left( {3k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + \left( {3k + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}\end{array}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).