Cho tam giác cân `ABC` `,` `AB = AC` `.` Trên cạnh `BC` lấy điểm `D` , trên tia đối của `CB` lấy điểm `E` sao cho `BD = CE` `.` Các đường thẳng vuông góc với `BC` kẻ từ `D` và `E` cắt `AB , AC` lần lượt ở `M , N` `.` Chứng minh rằng: `a, DM = EN` `b,` Đường thẳng `BC `cắt `MN` tại điểm `I` là trung điểm của `MN` `c,` Đường vuông góc với `MN` tại `I` luôn luôn đi qua một điểm cố định khi `D` thay đổi trên cạnh `BC`

a, $\triangle ABC$ cân tại A `-> \hat{ABC}=\hat{ACB}`

mà `\hat{ACB} = \hat{NCE}` (đối đỉnh)

`-> \hat{ABC} = \hat{NCE}`

Xét $\triangle BDM$ và $\triangle CEN$ có:

      `\hat{BDM}=\hat{CEN}=90^o`

      `BD=CE` (gt)

       `\hat{MBD}=\hat{NCE}` (cmt)

`->` $\triangle BDM = \triangle CEN (c.g.c)$

`-> DM = EN` (2 cạnh tương ứng)

b, Gọi `I` là giao điểm của `BC` và `MN`

Ta có: $\begin{cases} MD ⊥ BC\\NE⊥BC\end{cases}$ `->` $MD//NE$

`-> \hat{DMI}=\hat{ENI}` (2 góc so le trong)
Xét $\triangle MID$ và $\triangle NIE$ có:

     `\hat{MDI}=\hat{NEI}=90^o`

      `DM=EN` (cmt)

      `\hat{DMI}=\hat{NEI}` (cmt)

`->` $\triangle MID = \triangle NIE (g.c.g)$

`-> IM = IN` (2 cạnh tương ứng)

`->` đpcm

c, Kẻ `AH⊥BC (H \in BC)`; đường thẳng vuông góc với `MN` tại `I` cắt `AH` tại `K`

`$\triangle ABC$ cân tại A có AH là đường cao

`-> AH` đồng thời là đường phân giác

`-> \hat{BAH}=\hat{CAH}` hay `\hat{BAK}=\hat{CAK}`

Xét $\triangle ABK$ và $\triangle ACK$ có:

      `AB=AC` (gt)

      `\hat{BAK}=\hat{CAK}` (cmt)

      `AK:` chung

`->` $\triangle ABK = \triangle ACKc.g.c)$

`-> \hat{ABK}=\hat{ACK}` (2 góc tương ứng)   (1)

      `BK = CK` (2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle MIK$ và $\triangle NIK$ có:

      `IK:` chung

      `\hat{MIK}=\hat{NIK}=90^o`

       `MI = NI`

`->` $\triangle MIK = \triangle NIK c.g.c)$

`-> MK = NK` (2 cạnh tương ứng)

$\triangle BDM = \triangle CEN$ (theo `a`)

`-> BM = CN` (2 cạnh tương ứng)

Xét $\triangle KBM$ và $\triangle KCN$ có:

      `MK=NK` (cmt)

      `BM=CN` (cmt)

      `BK=CK`

`->` $\triangle KBM = \triangle KCN (c.c.c)$

`-> \hat{MBK} = \hat{NCK}` (2 góc tương ứng)    (2)

Từ (1) và (2) `-> \hat{ACK}=\hat{NCK}`

mà `\hat{ACK} + \hat{NCK}=180^o`

`-> \hat{ACK} = \hat{NCK}=90^o`

`->` CK cố định, AH cố định

`->` K cố định

Vậy đường thẳng vuông góc với `MN` tại `I` luôn luôn đi qua một điểm cố định khi `D` thay đổi trên cạnh `BC`