Cho tam giác BFC cân tại B . Kẻ FE vuông góc với BC tại E . CA vuông góc vs BF tại A a) Chứng minh : $\Delta$BEF = $\Delta$BAC b) FE cắt A tại D .Chứng minh BD là tia phân giác của góc ABC c) Gọi M là trung điểm của FC . Chứng minh BM vuông góc vs AE

Giải thích các bước giải:

a) `ΔBFC` cân tại `B => BF=BC`

Xét `ΔBEF` và `ΔBAC` có:

`\hat{BEF}=\hat{BAC}=90^0 (EF⊥BC; CA⊥BF)`

`BF=BC` (cmt)

`\hat{FBC}`: góc chung

`=> ΔBEF=ΔBAC` (cạnh huyền - góc nhọn)

b)  `ΔBEF=ΔBAC` (cmt)

`=> BE=BA` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔBAD` và `ΔBED` có:

`\hat{BAD}=\hat{BED}=90^0 (EF⊥BC; CA⊥BF; D∈AC; D∈EF)`

`BD`: cạnh chung

`AB=BE` (cmt)

`=> ΔBAD=ΔBED` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`=> \hat{ABD}=\hat{EBD}` (2 góc tương ứng)

`=> BD` là tia phân giác của `\hat{ABC}`

c) `ΔBAE` có: `AB=BE` (cmt)

`=> ΔBAE` cân tại `B`

`=> \hat{BAE}=\hat{BEA}=\frac{180^0-\hat{ABC}}{2}`

`ΔBFC` cân tại `B`

`=> \hat{BFC}=\hat{BCF}=\frac{180^0-\hat{ABC}}{2}`

`=> \hat{BAE}=\hat{BFC}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `AE` và `FC`

`=>` $AE//FC$

Xét `ΔBFM` và `ΔBCM` có:

`BF=BC` (cmt)

`BM`: cạnh chung

`FM=MC` (`M` là trung điểm của `FC`)

`=> ΔBFM=ΔBCM` (c.c.c)

`=> \hat{BMF}=\hat{BMC}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{BMF}+\hat{BMC}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{BMF}=\hat{BMC}=90^0`

`=>BM⊥FC`  lại có $AE//FC$ (cmt)

`=> BM⊥AE`.