Cho tam giác ABD, AB=6cm; AD=8cm; BD=10cm, đường cao AM. a) Chứng tỏ tam giác ABD là tam giác vuông. Tính MA; MB. b) Qua B kẻ tia Bx song song với AD; tia Bx cắt tía AM ở C. Chứng minh AM.AC=BM.BD c) Kẻ CE vuông góc với AD ( E thuộc AD); CE cắt BD tại I. Chứng tỏ BM^2=MI.MD d) Chứng minh rằng: tỉ số diện tích của tam giác AME và tam giác ADC bằng 9/25

a) Ta có: \(A{B^2} + A{D^2} = {6^2} + {8^2} = 100 = {10^2} = B{D^2}\) => tam giác ABD cân tại A. (định lý Pitago đảo). Xét tam giác ABM và tam giác DBA ta có: Góc M = góc A = 90 độ Góc B chung => tam giác ABM đồng dạng với tam giác DBA (g - g) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{AM}}{{DA}} \Leftrightarrow \frac{6}{{10}} = \frac{{BM}}{6} = \frac{{AM}}{8} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BM = 3,6\\AM = 4,8\end{array} \right..\) b) Ta có Bx // AD Mà AB vuông góc với AD => Bx vuông góc với AD. \(\begin{array}{l}Ta\,\,co:\,\,\,\Delta ABM \sim \Delta DBA\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{BM}}{{BA}} \Leftrightarrow B{A^2} = BD.BM\,\,\,\,\left( 1 \right)\\Xet\,\,\,\Delta ABM\,\,\,va\,\,\,\,\Delta ACB\,\,\,ta\,\,co:\\\angle A\,\,chung\\\angle ABC = \angle AMB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta ACB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AC.AM\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\Tu\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,va\,\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow AC.AM = BD.BM\,\,\,\,\left( { = A{B^2}} \right).\end{array}\)

a) Ta có:

$AB^2+AD^2=6^2+8^2=100=10^2=BD^2$

Theo định lý Pitago đảo $\Rightarrow \Delta ABC\bot A$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ có:

$\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AM=4,8$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABM$ có:

$MB^2=AB^2-AM^2=6^2-4,8^2=12,96$

$\Rightarrow MB=3,6$

b) Do $Bx\parallel AD\Rightarrow Bx\bot AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta $ vuông $ABC$ có:

$AB^2=AM.AC$

Trong $\Delta ABD$ có:

$AB^2=BM.BD$

$\Rightarrow AM.AC=BM.BD$ (đpcm)

c) Xét $\Delta MCI$ và $\Delta MDA$ có:

$\widehat{CMI}=\widehat{DAM}=90^o$

$\widehat{MCI}=\widehat{MDA}$ (cùng phụ $\widehat{CAD}$)

$\Rightarrow \Delta MCI$ đồng dạng $\Delta MDA$(g.g)

$\Rightarrow \dfrac{MI}{MA}=\dfrac{MC}{MD}$

$\Rightarrow MI.MD=MA.MC$

Mà $\Delta $ vuông $ABC$ có:

$BM^2=AM.AC$

$\Rightarrow BM^2=MI.MD$

d) Dựng $MK\bot AD$

Ta có: $S_{AME}=\dfrac{1}{2}MK.AE$

$S_{ADC}=\dfrac{1}{2}CE.AD$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AME}}{S_{ADC}}=\dfrac{MK.AE}{CE.AD}$

Tính các cạnh

$MD=BD-BM=10-3,6=6,4$

$\Delta AMD$ có: $\dfrac{1}{MK^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{MD^2}=\dfrac{1}{4,8^2}+\dfrac{1}{6,4^2}=\dfrac{625}{9216}$

$\Rightarrow MK=3,84$

Ta có: $\widehat{ADB}=\widehat{DBC}$ (so le trong)

$\Rightarrow \cos \widehat{ADB}=\cos \widehat{DBC}$

$\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{BM}{BC}$

$\Rightarrow BC=\dfrac{BM.BD}{AD}=\dfrac{3,6.10}{8}=4,5=AE$

$CE=AB=6$

$\Rightarrow \dfrac{S_{AME}}{S_{ADC}}=\dfrac{MK.AE}{CE.AD}=\dfrac{3,84.4,5}{6.8}=\dfrac{9}{25}$ (đpcm)