Cho tam giác ABC vuông tại A, có B = 60 độ và AB = 5 cm. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc với BC (E ∈ BC). chứng minh: a) Δ ABD = Δ EBD b) Δ ABE là tam giác đều c) Δ AEC cân d) Tính độ dài cạnh AC

Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có:

`\hat{BAD}=\hat{BED}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; DE⊥BC` tại `E)`

`BD`: cạnh chung

`\hat{ABD}=\hat{EBD}` (`BD` là tia phân giác của `\hat{ABC}`)

`=> ΔABD=ΔEBD` (cạnh huyền-góc nhọn)

b)  `ΔABD=ΔEBD` (cmt)

`=> AB=BE` (2 cạnh tương ứng)

`=> ΔABE` cân tại `B`

lại có `\hat{ABE}=60^0 => ΔABE` đều

c) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> \hat{ABC}+\hat{C}=90^0` (phụ nhau)

`=> 60^0+\hat{C}=90^0`

`=> \hat{C}=90^0-60^0=30^0`

`ΔABE` đều `=> \hat{BAE}=60^0`

mà `\hat{BAE}+\hat{EAC}=\hat{BAC}=90^0` (`ΔABC` vuông tại `A`)

`=> 60^0+\hat{EAC}=90^0 => \hat{EAC}=30^0`

`=> \hat{EAC}=\hat{C}=30^0`

`=> ΔAEC` cân tại `E`

d) `ΔABE` đều `=> AB=AE=BE=5cm`

`ΔAEC` cân tại `E` `=> AE=EC=5cm`

`=> BC=BE+EC=5+5=10cm`

`ΔABC` vuông tại `A`

`=> AB^2+AC^2=BC^2` (định lý pytago)

`=> 5^2+AC^2=10^2`

`=> AC^2=75 =>AC=5\sqrt{3}cm`