Cho tam giác ABC ở ngoài mặt phẳng (P). Biết AB, AC, BC lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại I, J, K. a) Chứng minh I, J, K thẳng hàng. b) Cho M di động, M không thuộc (P) và M không thuộc (ABC). Các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt (P) tại D, E, F. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng DF, DE, EF đi qua 1 điểm cố định.

Lời giải: 

a. Vì I thuộc AB, I thuộc (P) nên I thuộc giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và (P)

Chứng minh tương tự: J, K thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC) và (P) 

Vậy I, J, K cùng thuộc một đường thẳng hay I, J, K thẳng hàng.

b. Vì MA cắt (P) tại D, MB cắt (P) tại E

Suy ra: DE là giao tuyến của 2 mặt phẳng (MAB) và (P)

Mà I thuộc AB, I thuộc (P) (AB cắt (P) tại I) nên I thuộc giao tuyến của (MAB) với (P)

Do đó: DE đi qua điểm I cố định

Chứng minh tương tự: DF đi qua điểm J cố định, EF đi qua điểm K cố định.