Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết AB = 4cm, BC = 8,5cm và CA = 7,5cm. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. a) Chứng minh tam giác ABC vuông và tính độ dài đường cao vẽ từ đỉnh góc vuông của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng EF = 2AH. c) Chứng minh rằng HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
1 câu trả lời
Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a) \Delta ABC có AB^2+AC^2=BC^2=72,25 (cm)$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ (Pytago đảo)
$AD \cap BC=K$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AK$
$\Rightarrow AK.BC=AB.AC$
$\Rightarrow AK=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{60}{17} (cm)$
$b) \Delta ABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow$ Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm $BC$
Đường kính $BC$ vuông góc với dây $AD$
$\Rightarrow BC$ đi qua trung điểm dây $AD$
$\Rightarrow K$ là trung điểm $AD$
$\Rightarrow \Delta BAD$ cân (do $BK$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến)
$\Rightarrow BK$ là phân giác $\widehat{ABD}$
$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}$
Mà $\widehat{B_3}=\widehat{B_1} (đ đ), \widehat{B_4}=\widehat{B_2} (đ đ) $
$\Rightarrow \widehat{B_3}=\widehat{B_4}$
$\Rightarrow BH$ là phân giác $\widehat{EBF}$
$\Rightarrow \Delta EBF$ cân tại $B$ (do $BH$ vừa là đường cao vừa là phân giác)
$\Rightarrow BH$ đồng thời là trung tuyến
$\Rightarrow H$ là trung điểm $EF$
$\Delta AEF$ vuông tại $A$, trung tuyến $AH$
$\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}EF=HE=HF\\ \Rightarrow EF=2AH$
$c) \Delta AHF$ cân tại $A (HA=HF)$
$\Rightarrow \widehat{HAF}=\widehat{HFA}$
$\Delta OAB$ cân tại $O (OA=OB=R)$
$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{B_1}\\ \widehat{HAO}=\widehat{HAF}+\widehat{OAB}\\ =\widehat{HFA}+\widehat{B_1}\\ =\widehat{HFA}+\widehat{B_3}$
$=90^\circ$ (do $\Delta BHF$ vuông tại $H)$
$\Rightarrow HA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O).$