Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. kẻ đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: a/ AE. AB = AD. AC b/ Tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB c/ Trên BD lấy điểm M sao cho góc MAC = 90o ; Trên CE lấy điểm N sao cho góc ANB = 90o . Chứng minh: AM = AN.

Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD, \Delta ACE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^o$

$\to\Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to AB\cdot AE=AC\cdot AD$

b.Xét $\Delta ADE,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$ vì $ AB\cdot AE=AC\cdot AD$

$\to\Delta ADE\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to đpcm$

c.Ta có $\widehat{AMC}=90^o, MD\perp AC$

$\to AM^2=AD\cdot AC$

Tương tự $AN^2=AE\cdot AB$

Mà $AD\cdot AC=AE\cdot AB$

$\to AM^2=AN^2$

$\to AM=AN$

Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

 ` a)` Xét ` Δ ABD & Δ ACE : `

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ADB}$ `=` $\widehat{AEC}$ `=90^o `

`-> ΔABD` $\backsim$  `  ΔACE (g.g) `

` -> (AB)/(AC) = (AD)/(AE) `

`-> AB .AE = AC .AD ` (đpcm)

` b) ` Vì ` AB.AE = AC.AD `

`-> (AD)/(AB) = (AE)/(AC) `

Xét ` ΔADE & Δ ABC : ` 

$\widehat{A}$ chung

` (AD)/(AB) = (AE)/(AC) `

`-> ΔADE ` $\backsim$ ` Δ ABC (c.g.c ) ` (đpcm)

` c)` Xét ` ΔAMC` có $\widehat{AMC}$ `=90^o ` (gt) `;`  `  MD ⊥ AC `

`-> AM^2 = AD .AC (1) `

Xét ` ΔANB` có $\widehat{ANB}$ `=90^o ` (gt) ` ; NE ⊥ AB `

`-> AN^2 = AE.AB (2)` 

Mà ` AE.AB = AC.AD(3) `

Từ ` (1),(2)&(3) `

`-> AM^2  = AN^2 `

`-> AM =AN ` (đpcm)