Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB<AC. các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi O, I thứ tự là trung điểm của BC và AH. Chứng minh rằng: 1) Bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn tâm O. 2) IO là đường trung trực của DE. 3) ID là tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính BC. Cho mình xin lời giải mình cần gấp mình đáng giá 5 sao

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) `\triangleBDC` vuông tại `D` có `DO` là trung tuyến

`=>DO=OB=OC=(BC)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(1)`

`\triangleBEC` vuông tại `E` có `EO` là trung tuyến

`=>EO=OB=OC=(BC)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta suy được: `DO=EO=OB=OC` `(=(BC)/(2))`

`=>`Bốn điểm `B,C,D,E` cùng thuộc đường tròn tâm `O` bán kính `(BC)/2` `(đpcm)`

b) `\triangleAEH` vuông tại `E` có `IE` là trung tuyến 

`=>IE=IH=IA=(AH)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác giác vuông`)` `(3)`

`\triangleADH` vuông tại `D` có `ID` là trung tuyến

`=>ID=IH=IA=(AH)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ta suy được: `IE=ID=IH=IA` `(=(AH)/(2))`

`=>`Bốn điểm `A,E,H,D` cùng thuộc đường tròn tâm `I` bán kính `(AH)/2`

Ta có:

`IE=ID=(AH)/2` `(cmt)` 

`=>I` thuộc đường trung trực của `DE` `(5)`

`ED=EO=(BC)/2` `(cmt)`

`=>O` thuộc đường trung trực của `DE` `(6)`

Từ `(5)` và `(6)` ta suy được: `IO` là đường trung trực của `DE` `(đpcm)`

c) Ta có:

`ID=IA=(AH)/2` `(cmt)`

`=>\triangleIAD` cân tại `I`

`=>\hat{IAD}=\hat{IDA}` `(`tính chất tam giác cân`)` `(a)`

Lại có:

`DO=OC=(BC)/2` `(cmt)`

`=>\triangleOCD` cân tại `O`

`=>\hat{OCD}=\hat{ODC}` `(`tính chất tam giác cân`)` `(b)`

Mặt khác:

`H` là giao điểm của hai đường cao `BD` và `CE`

`=>H` là trực tâm của `\triangleABC`

`=>AH\botBC` tại `F`

`=>\triangleAFC` vuông tại `F`

`=>\hat{FAC}+\hat{FCA}=90^0` `(`hai góc phụ nhau`)`

Hay `\hat{IAD}+\hat{OCD}=90^0` `(c)`

Từ `(a),(b)` và `(c)` ta suy được: `\hat{ODI}=90^0`

`=>DO\botID`

`=>ID` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` đường kính `BC` `(đpcm)`