Cho tam giác ABC có AB=6cm;AC=8cm;BC=10cm a.Chứng minh tam ABC vuông b.Tính góc B và góc C c.Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.Tính BC,DC d.Từ D kẻ DE vuông góc với AB, DF vuông góc với AC.Tứ giác AEDF là hình gì tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF
1 câu trả lời
Đáp án:
a) $\triangle ABC$ vuông tại A
b) $\widehat{B}=53,1^o;\widehat{C}=36,9^o$
c) $BD=\dfrac{30}{7}cm, DC=\dfrac{40}{7}cm$
d)
Tứ giác AEDF là hình vuông
Chu vi tứ giác AEDF là $\dfrac{96}{7}cm$
Diện tích tứ giác AEDF là $\dfrac{576}{49}cm^2$
Giải thích các bước giải:
a)
Ta có:
$AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\\BC^2=10^2=100$
$\to AB^2+AC^2=BC^2\,\,\,(=100)$
$\to\triangle ABC$ vuông tại A (định lý Pytago đảo)
b)
Ta có:
$\sin{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\\\to \widehat{B}≈53,1^o\\\sin{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\to \widehat{C}=36,9^o$
c)
Xét $\triangle ABC$, đường phân giác AD:
$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}\\\to \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\\\to BD=\dfrac{3}{4}DC$
Ta có:
$BD+DC=BC=10cm\\\to \dfrac{3}{4}DC+DC=10\\\to 3DC+4DC=40\\\to DC=\dfrac{40}{7}(cm)\\\to BD=\dfrac{3}{4}.\dfrac{40}{7}=\dfrac{30}{7}(cm)$
d)
Xét tứ giác AEDF:
$\widehat{EAF}=90^o$ ($\triangle ABC$ vuông tại A)
$\widehat{AED}=90^o\,\,\,(DE\bot AB)\\\widehat{AFD}=90^o\,\,\,(DF\bot AC)$
$\to$ Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
Mà AD là phân giác của $\widehat{EAF}$ (gt)
$\to$ Tứ giác AEDF là hình vuông (hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc(
Xét $\triangle BED$ vuông tại E:
$\sin{B}=\dfrac{ED}{BD}\\\to ED=BD\sin{B}=\dfrac{30}{7}.\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{7}(cm)$
$\to$ Chu vi tứ giác AEDF:
$AE+ED+DF+FA=4ED=4.\dfrac{24}{7}=\dfrac{96}{7}(cm)$
$\to$ Diện tích tứ giác AEDF:
$ED.DF=ED^2=\left(\dfrac{24}{7}\right)^2=\dfrac{576}{49}(cm^2)$