cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) , gọi D là trung điểm AB E là trọng tâm của tam giác ACD , chứng minh OE vuông góc với CD

Gọi $K$ là trung điểm cạnh $DC$

$N$ là trung điểm cạnh $AC$

$AK\cap DN=E\Rightarrow E$ là trọng tâm $\Delta ADC$

$\Rightarrow \dfrac{DE}{DN}=\dfrac{2}{3}$ (1)

Mà $\Delta ABC$ cân đỉnh $A\Rightarrow AO$ là đường trung tuyến và có $CD$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow $ Gọi $G=AO\cap CD\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow DG=\dfrac{DC}{3}=\dfrac{2DK}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{DG}{DK}=\dfrac{2}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{DE}{DN}=\dfrac{DG}{DK}=\dfrac{2}{3}$

Theo định lý Ta-let suy ra $GE\parallel KN$ (3)

Có $KN$ là đường trung bình $\Delta ACD\Rightarrow KN\parallel AB$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $GE\parallel AB$ (5)

Mà $\Delta AOB$ cân đỉnh $O$ có $D$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow OD$ là trung tuyến cũng là đường cao $\Rightarrow DO\bot AB$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $DO\bot GE$ (*)

Mặt khác $DN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow DN\parallel BC$

Mà $AO\bot BC$

$\Rightarrow AO\bot DN$ hay $GO\bot AN$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\Delta DNK$ có $GO$ và $DO$ là hai đường cao $DO\cap GO=O$

$\Rightarrow O$ là trực tâm $\Delta DNK$

$\Rightarrow EO\bot DK$ hay $EO\bot DC$ (đpcm).