Cho tam giác ABC cân (AB = AC) .Trên cạnh BC lấy D ,trên tia đối của CB lấy E sao cho BD = CE .Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB ,AC tại M,N.Cmr: a,DM = EN b,BC cắt MN tại trung điểm I của MN c,Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạch BC

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $\widehat {C_1}=\widehat{C_2}$ (đối đỉnh)

$\widehat B=\widehat{C_1}$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$)

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat {C_2}$ (=$\widehat{C_1}$)

Xét $\Delta$ vuông $DBM$ và $\Delta$ vuông $ECN$ có:

$BD=CE$ (giả thiết)

$\widehat{B}=\widehat {C_2}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta$ vuông $DBM=\Delta$ vuông $ECN$ (cgv-gn)

$\Rightarrow DM=EN$ (đpcm)

b) Xét $\Delta$ vuông $IDM$ và $\Delta$ vuông $IEN$ có:

$\widehat{DIM}=\widehat{EIN}$ (đối đỉnh)

$DM=EN$ (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow \Delta$ vuông $IDM=\Delta$ vuông $IEN$ (cgv-gn)

$\Rightarrow IM=IN$ và $I\in MN$ (do $BC$ cắt $MN$ tại $I$)

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $MN$ (đpcm)

c) Dựng đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB, dựng đường thẳng qua C và vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F

Xét $\Delta$ vuông $ABF$ và $\Delta$ vuông $ACF$ có:

$AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân đỉnh $A$)

$AF$ chung

$\Rightarrow \Delta$ vuông $ABF=\Delta$ vuông $ACF$ (ch-cgv)

$\Rightarrow FB=FC$  và có $AB=AC$

$\Rightarrow AF$ là đường trung trực của $BC$, nên $F$ thuộc đường trung trực của $BC$ do $B,C$ cố định nên đường trung trực của $BC$ cố định nên $F$ cố định

Xét $\Delta$ vuông $BFM$ và $\Delta$ vuông $CFN$ có:

$BM=CN$ (do $\Delta DBM=\Delta ECN$)

$BF=CF$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta$ vuông $BFM=\Delta$ vuông $CFN$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow FM=FN\Rightarrow F$ thuộc đường trung trực của MN

Vậy đường trung trực của MN đi qua điểm F cố định (đpcm)