Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến xy qua M. Vẽ AD, BC vuông góc với xy a) Chứng minh: MC=MD b) Chứng minh AD+BC không đổi khi M di động trên nửa đường tròn c) Chứng minh AD, BC, AB là tiếp tuyến đường tròn , đường kính CD d) Tìm vị trí của M để diện tích ABCD lớn nhất

a) Xét tứ giác $ABCD$ có:

$AD\parallel OM\parallel CB$ (vì cùng $\bot xy$) có $O$ là trung điểm cạnh $AB$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$

$\Rightarrow M$ là trung điểm cạnh $CD\Rightarrow MC=MD$ (đpcm)

b) Do $OM$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên $OM=\dfrac{AD+BC}{2}$

$\Rightarrow AD+BC=2OM$ không đổi

c) Ta có $M$ là trung điểm của đường kính $CD$ nên $M$ là tâm đường tròn đường kính $(CD)$

Lại có $AD\bot MD\Rightarrow AD$ là tiếp tuyến của $(CD)$

Tương tự $BC$ cũng là tiếp tuyến đường tròn đường kính $(CD)$

Ta dựng $MF\bot AB$ (*)

Ta xét $\Delta OAM$ cân đỉnh $O$ $(OA=OM)$ nên $\widehat{OAM}=\widehat{OMA}$ (1)

Mà $\widehat{DMA}+\widehat{OMA}=90^o\Rightarrow \widehat{DMA}=90^o-\widehat{OMA}$ (2)

$\Delta AMF:\widehat{AMF}=90^o-\widehat{OAM}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DMA}=\widehat{AMF}$

Xét $\Delta$ vuông $AMD$ và $\Delta$ vuông $AMF$ có:

$\widehat{DMA}=\widehat{AMF}$ (cmt)

$AM$ chung

$\Rightarrow $$\Delta$ vuông $AMD=\Delta$ vuông $AMF$ (cạnh huyền góc nhọn)

$\Rightarrow MD=MF$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $AB$ là tiếp tuyến của $(DC)$

d) Ta có: $S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.(AD+BC).CD=OM.CD$

Do $OM$ không đổi nên để $S_{ABCD}$ lớn nhất thì $CD$ lớn nhất

$\Leftrightarrow CD=AB$ khi đó $M$ thuộc điểm chính giữa của cung $AB$ và $S=OM.AB=\dfrac{AB}{2}.AB=\dfrac{AB^2}{2}$