Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C sao cho góc CBA = 300 . Trên tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn lấy điểm M sao cho BM = BC. a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ? b) Chứng minh BMC đều. c) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O;R). d) OM cắt nửa đường tròn tại D và cắt BC tại E. Tính diện tích tứ giác OBDC theo R.

a.

Tam giác `ABC` nội tiếp đường tròn có `BC` là đường kính

`=> ΔABC` vuông tại `C`

Cách 2:

Ta có: `OB = OA = OC = R = 1/2AB`

Mà `O` là trung điểm của `AB`

`=> OC` là trung tuyến 

`=> ΔABC` vuông tại `C` (vì có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền)

b.

Theo đề ta có `BC  = BM`

`=> ΔMCB` cân tại `B`

Mà `BM` là tiếp tuyến

`=> hat (MBO) = 90^o`

`=> hat (CBM) = hat (MBO) - hat (CBA) = 90^o - 30^o = 60^o`

`=> ΔBMC` đều (tam giác cân có một góc `60^o`)

c.

Xét tam giác `MOC` và `MOB` có:

`OM` chung

`MC = MB` (tam giác đều)

`OC = OB =R`

`=> ΔMOC = ΔMOB (c.c.c)`

`=> hat (OCM) = hat(OBM) = 90^o`

`=> OC ⊥ MC`

`=> MC` là tiếp tuyến đường tròn `(O;R)`

d.

Ta có `OM` là đường phân giác trong tam giác đều `BMC` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên đồng thời là đường cao suy ra `OM ⊥ BC` tại `E`

mà` hat (COM) = hat(BMO) = hatM /2 = 60^o/2 = 30^o`

`=> hat(OCM) = 90^o - 30^o = 60^o`

Lại có `OC = OD = R`

`=> ΔOCD` đều (tam giác cân có góc `60^o`)

`=> CD = OD \qquad \qquad \qquad(1)`

Chứng minh tương tự ta có `Δ OBD` đều

`=> OB = BD \qquad \qquad \qquad(2)`

Mà `OC = OB = R`

Kết hợp với (1) và (2) `=> OB = OC = CD = BD`

Hay `OBCD` là hình thoi

Mặt khác ta có `BC=\cos hat(CBA) * AB`

`=> BC = \cos 30^o * 2R`

Mà `OD = R`

`=> S_(OBCD) = 1/2* OD *BC`

`= 1/2 * R * \cos 30^o * 2R`

`= (R^2*\sqrt3)/2`