Cho nửa đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính BC. Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn (A khác B, khác C) sao cho AB < AC. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC. a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Biết AB = 5cm, AC = 5 √ 3 cm. Tính R, BH và số đo góc B. c) Gọi I là trung điểm của AH. Tia CI và tia CA cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O; R) thứ tự tại E, K. Chứng minh E là trung điểm của BK và EA là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R).

`a)` `Ta` `có` : `A,B,C` `thuộc` `(O)`

                    `BD` `là` $dkinh$

  ⇒ $\triangle$$ABC$ $\bot$ tại $A$

`b)` `Xét` $\triangle$$ABC$ $\bot$ tại $A$ $(cmt)$ `có:`

$BC^2=AB^2+AC^2$ (`HTL` `trong` `tgac` `vuông` `đường` `cao` `AH`)

⇒ $BC=√(5^2+(5√3)^2)$

⇒ $BC=10cm$

⇒ $R=$ $\frac{d}{2}=$ $\frac{BC}{2}=$ $\frac{10}{2}=5$ `cm`

`Xét` $\triangle$$ABC$ $\bot$ tại $A$ $(cmt)$ có:

$AB^2=BH.BC$(`HTL` `trong` `tgac` `vuông` `đường` `cao` `AH`)

⇒$5^2=BH.10$

⇒$BH=$$\frac{25}{10}=2,5$ `cm`

`Ta` `có:` `sin` `B` = $\frac{AC}{BC}$ `(tslg)` = $\frac{5√3}{10}$ = $\frac{√3}{2}$

⇒ $\widehat{ABC}$ = $60^0$

`c)` `Ta` `có:` `CH`$\bot$ `AH`,`CB`$\bot$`BK`

⇒ `AH`$\parallel$`KB`(`cùng`$\bot$`BC`)

`Xét` $\triangle$`CBE` `có:`

`IH`$\parallel$`EB` (`cùng`$\bot$`BC`)

⇒ $\frac{IH}{EB}$ = $\frac{CI}{CE}$ = $\frac{CH}{CB}$ (`hq` $Talet$)

`Xét` $\triangle$`CKE` `có:`

`AI`$\parallel$`EK`

⇒ $\frac{AI}{KE}$ = $\frac{CA}{CK}$ = $\frac{CI}{CE}$ (`hq` $Talet$)

⇒ $\frac{IH}{EB}$ = $\frac{IA}{EK}$ 

`mà` $IH=IA$ (`I` `là` `trung` `điểm` $AH$)

⇒ $EB=EK$

⇒ `E` `là` `trung` `điểm` `KB`