Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB . Gọi Ax By là các tia tiếp tuyến của nửa đường tròn và thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn qua M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường với nửa đường tròn cắt Ax,By lần lượt tại C,D. a; Chứng minh rằng CD=AC+BD , góc COD =90độ b;AC*BD=R^2 c;Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính CD d; AD cắt BC tại N , MN cắt AB tại K Chứng Minh Rằng ; MN // AC

Đáp án:

Giải thích các bước giải: a) Ta có : \[\left. \begin{array}{l} CM = CA\left( {tiep\,tuyen\,cat\,nhau} \right)\\ DM = DB\left( {tiep\,tuyen\,cat\,nhau} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow AC + BD = CM + DM = CD\] Lại có : \[\left. \begin{array}{l} \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\left( {t/c} \right)\\ \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\left( {t/c} \right) \end{array} \right\}\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}}\] mà \(\begin{array}{l} \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \end{array}\) b) Xét tam giác COD có \(\begin{array}{l} \widehat {COD} = 90^\circ ,OM \bot CD\\ \Rightarrow CM.MD = O{M^2}\left( {he\,thuc} \right) \Rightarrow AC.BD = {R^2}. \end{array}\) c) Gọi I là trung điểm của CD thì OI là đường trung bình của hình thang ACDB \[\begin{array}{l} \Rightarrow IO//AC//BD \Rightarrow IO \bot AB.\\ ma\,IO = IC = ID \end{array}\] Vậy I là tâm đường tròn đường kính CD Hay AB là tiếp tuyến của đường tròn.

a) Do $CA$ và $CM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $CA=CM$

Do $DM $ và $DB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $DM=DB$

Suy ra $CD=CM+MD=CA+DB$ (đpcm)

Ta có $\widehat{O_1}=\widehat{O_2}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và $\widehat {O_3}=\widehat{O_4}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow\widehat{COD}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=\dfrac{\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat {O_3}+\widehat{O_4}}{2}=90^o$ (đpcm)

b) $\Delta COD\bot O$ có đường cao $OM$

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

$OM^2=CM.MD\Rightarrow R^2=CA.DB$ (đpcm)

c) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ thì $OI$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$

⇒IO//AC//BD

⇒IO⊥AB mà OI=IC=ID

Vậy $I$ là tâm đường tròn đường kính $CD$

Hay $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(CD)$

d) Do $Ax$ và $By$ là hai tiếp tuyến của $(O)$

Nên $Ax\parallel By$ (vì cùng $\bot AB$)

Hay $AC\parallel DB$

Theo định lý Ta-let ta có:

$\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{BD}$

Mà $AC=CM$ và $BD=DM\Rightarrow \dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{DM}$

$\Rightarrow \dfrac{NA}{ND}=\dfrac{CM}{DM}$

Hay $\dfrac{NA+ND}{ND}=\dfrac{CM+DM}{DM}$

$\Leftrightarrow\dfrac{AD}{ND}=\dfrac{CD}{DM}$

$\Rightarrow \dfrac{ND}{AD}=\dfrac{DM}{CD}$

$\Rightarrow MN\parallel AC$ (định lý Ta-let) (đpcm).