Cho nửa đường tròn `(O; R)`, đường kính `AB`. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ `AB` chứa nửa đường tròn kẻ các tia tiếp tuyến `Ax`, `By` với `(O; R)`. Một điểm `M` thay đổi trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại `M` của `(O, R)` cắt `Ax` và `By` lần lượt tại `E` và `F`. Gọi `H` là hình chiếu của `M` trên `AB`. Xác định vị trí điểm `M` trên nửa đường tròn sao cho đường tròn nội tiếp `ΔAMB` có bán kính lớn nhất ?
1 câu trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $ x = MA; y = MB => x^{2} + y^{2} = 4R^{2}$
Gọi $(I; r)$ là đường tròn nội tiếp $ \Delta AMB$ thì:
$ 4[S(IMA) + S(IMB) + S(IAB)] = 4S(AMB)$
$ <=> 2r(MA + MB + AB) = 2MA.MB$
$ <=> 2r(x + y + 2R) = 2xy$
$ <=> 2r(x + y + 2R) = (x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2})$
$ <=> 2r(x + y + 2R) = (x + y)^{2} - 4R^{2}$
$ <=> 2r = (x + y) - 2R =< \sqrt{2(x^{2} + y^{2})} - 2R$
$ <=> r =< R(\sqrt{2} - 1)$
$ => Maxr = R(\sqrt{2} - 1) <=> x = y$
$ <=> M$ là điểm chính giữa cung $ AB$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm