Cho nửa đường tròn đường kính BC. Một điểm H thuộc BC. Kẻ Hz vuông góc BC và gọi A là giao điểm của Hz với nửa đường tròn. Trong cùng 1 nửa mặt phẳng với Hz bờ là đường thẳng BC, ta kẻ tiếp tuyến Bx, Cy với nửa đường tròn, CA cắt Bx tại E, BA cắt Cy tại D và AH cắt ED tại L. a. CMR: AH=AL. b. CMR: S ΔABC = S ΔAED. c. Gọi P là trung điểm BE và Q là trung điểm của CD. CMR: PQ là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại điểm A. d. Điểm H ở vị trí nào trên BC thì tổng BP+QC đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải thích các bước giải:

EFCB nội tiếp nên

∠

A

E

F

=

∠

A

C

B

Kẻ tiếp tuyến Ax , ta có

∠

x

A

E

=

∠

A

C

B

→

∠

A

E

F

=

∠

x

A

E

→

A

x

/

/

E

F

→

O

A

⊥

E

F

→

˜

A

P

=

˜

A

Q

Từ đó

∠

P

B

A

=

∠

A

P

E

rồi dùng tam giác đồng dạng là xong

b/ Từ các tứ giác nội tiếp có

D

K

.

D

A

=

D

C

.

D

B

và

D

F

.

D

E

=

D

C

.

D

B

nên

D

K

.

D

A

=

D

F

.

D

E

=>AEFK nội tiếp

c/ Từ cmt ta có

∠

D

K

F

=

∠

A

E

F

=

∠

A

C

B

→

KFCD nội tiếp

→

I

C

.

I

D

=

I

F

.

I

K

Lại có

∠

F

H

I

=

∠

H

A

F

=

∠

H

K

I

→

Δ

H

I

F

∼

Δ

K

I

H

→

I

F

.

I

K

=

I

H

2

=> DPCM