cho nửa đg tròn tâm O đg kính AB .C là trung điểm cung AB 'K là trung điểm BC ,AK cắt đg tròn tâm O tại M .CH vuông góc AM .Oh cắt BC tại N .MN cắt đg tròn tâm O tại D .CM B,H,D thẳng hàng

Xét tam giác vuông HCM có : \(\widehat{AMC}={{45}^{0}}\) (góc nt chắn cung AC) => Tam giác vuông HCM vuông cân tại H \(\Rightarrow HM=HC\Rightarrow H\) thuộc trung trực của MC. Lại có OM = OC => O thuộc trung trực của MC. => OH là trung trực của MC. Mà N thuộc OH => NM = NC => Tam giác NMC cân tại N. \(\Rightarrow \widehat{NMC}=\widehat{NCM}\). Ta có : \(\widehat{DCB}=\widehat{DMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DAB) \(\Rightarrow \widehat{DCB}+\widehat{NCM}=\widehat{DMB}+\widehat{NMC}\Rightarrow \widehat{DCM}=\widehat{BMC}\). \(\Rightarrow \widehat{DCH}+\widehat{HCM}=\widehat{BMH}+\widehat{HMC}\) Mà \(\widehat{HCM}=\widehat{HMC}\) (Do tam giác HMC cân tại H) => \(\widehat{DCH}=\widehat{BMH}\). Mà \(\widehat{BMH}={{90}^{0}}\) (góc nt chắn nửa đường tròn) => \(\widehat{DCH}={{90}^{0}}\Rightarrow DC\bot CH\). Lại có \(CH\bot AM\Rightarrow CD//AM\). Ta có \(\left\{ \begin{align} & CH\bot AM \\ & BM\bot AM \\ \end{align} \right.\Rightarrow CH//BM\Rightarrow \frac{CK}{BK}=\frac{HK}{MK}=1\Rightarrow K\) là trung điểm của HM. Xét tam giác cân HCM có HN là trung trực đồng thời là trung tuyến, CK là trung tuyến. => MN cũng là trung tuyến của tam giác HMC => MN đi qua trung điểm của CH. Gọi MN giao CH bằng E => E là trung điểm của CH. Ta có CD // AM (cmt) \(\Rightarrow \frac{EC}{EH}=\frac{EM}{ED}=1\Rightarrow E\) là trung điểm của MD => DCMH là hình bình hành => CM // DH (1). Lại có BMCH là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại TĐ mỗi đường) => CM // HB (2) Từ (1) và (2) => B, H, D thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit).