Cho hình vuông ABCD có B là ảnh của A qua phép quay tâm I(2;1), góc quay 90° . A B đối xứng nhau qua gốc O. Tính diện tích của hình vuông ABCD

Giải thích các bước giải:

A và B đối xứng nhau qua gốc O nên:

\[\left\{ \begin{array}{l}
A\left( {a;b} \right)\\
B\left( { - a; - b} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} \left( {a - 2;b - 1} \right)\\
\overrightarrow {IB} \left( { - a - 2; - b - 1} \right)
\end{array} \right.\]

B là ánh của A qua tâm I nên:

\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \\
IA = IB
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {a - 2} \right)\left( { - a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right)\left( { - b - 2} \right) = 0\\
{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {\left( { - a - 2} \right)^2} + {\left( { - b - 2} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 4 + {b^2} - 4 = 0\\
 - 4a - 4b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b =  - 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2 
\end{array}\]

Diện tích hình vuông ABCD là:

\[A{B^2} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = 32\]