Cho hình thoi ABCD có AC = 6; góc ACB = 30°. Tính: a/ BC, BD b/ Diện tích của BCD, ABCD c/ CM, DM với M là trung điểm AB.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a//`

Gọi giao điểm của `AC` và `BD` là `I`

`ABCD` là hình thoi

       `=> AB = BC `

     mà `AB = 6`

        `=> BC = 6` `ABCD` là hình thoi

        `=> AC bot BD`

`ΔBIC` vuông tại `I` có:  `\hat{ACB} = 30^o`

      `=> BI = 1/2 BC = 1/2 . 6 = 3` 

`ABCD` là hình thoi

     `=> BD` và `AC` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

       mà `I` là giao điểm của `AC` và `BD`

     `=> I` là trung điểm của `BD`

     `=> BD = 2BI = 2 . 3 = 6`

`b//`

`ΔBIC` vuông tại `I` có:

             `BC^2 = BI^2 + CI^2( `Định lí `Pytago)`

      hay `6^2 = 3^2 + CI^2`

        `=> CI = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}`

       mà `AC = 2CI`

        `=> AC = 2 . 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}`

`S_(ΔBCD) = 1/2 . CI . BD = 1/2 . 3\sqrt{3} . 6 = 9\sqrt{3}`

`S_(ABCD) = 1/2 . AC . BD = 1/2 . 6\sqrt{3} . 6 = 18\sqrt{3}`

`c//`

Gọi giao điểm của `CM` và `BI` là `G`

Gọi giao điểm của `DM` và `AI` là `G'`

`ΔABC` có: `BI` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AC`

                  `CM` là đường trung tuyến ứng với cạnh `AB`

           mà `BI` cắt `CM` tại `G`

             `=> G` là trọng tâm của `ΔABC`

              `=> IG = 1/3 BI = 1/3 . 3 = 1`

`ΔCIG` vuông tại `I` có:

    `CG^2 = IG^2 + CI^2(` Định lí `Pytago)`

  hay `CG^2 = 1^2 + (3\sqrt{3})^2`

    `=> CG = \sqrt{1^2 + (3\sqrt{3})^2}=2\sqrt{7}`

Ta có: `G` là trọng tâm của `ΔABC`

       `=> CM = 3/2CG = 3/2 . 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7}`

Chứng minh tương tự ta được: `DM = 3/2DG' = 3/2 . 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}`