Cho hình chữ nhật ABCD có AC = 10 cm, AB = 8cm. Từ D kẻ DH ⊥ AC a/ Chứng minh: ΔABC ∼ ΔAHD b/ Chứng minh: AD . CH = DC . DH c/ Tính độ dài các đoạn thẳng BC, DH, AH d/ Tính tỉ số lượng giác của góc DCH

a. Do tứ giác ABCD là hcn (gt)

⇒ AD//BC (tính chất)

⇒ ∠HAD=∠ACB (2 góc so le trong)

Xét tam giác ABC và tam giác DHA có:

∠HAD=∠ACB (cmt)

∠ABC=∠DHA=90 độ

⇒ Tam giác ABC đồng dạng tam giác DHA (g.g)

b. Xét tam giác CDH và tam giác CAD có:

∠CHD=∠CDA=90 độ 

∠ACD chung

⇒ Tam giác CDH đồng dạng tam giác CAD (g.g)

⇒ CH/CD=DH/AD (các cạnh tương ứng)

⇒ CH.AD=DH.CD

c. Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC²=AB²+BC² (định lí Py-ta-go)

⇒ 10²=8²+BC²

⇒ BC=6 (cm)

Xét tam giác ACD vuông tại D, đường cao DH có:

AD.DC=AC.DH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒ 6.8=10.DH

⇒ DH=4.8 (cm)

Xét tam giác ADH vuông tại H có:

AD²=HA²+HD²

⇒ 6²=HA²+4.8²

⇒ HA=3.6 (cm)

d. sin ∠DCH=AD/AC=6/10=3/5

cos ∠DCH=CD/AC=8/10=4/5

tan ∠DCH=AD/CD=6/8=3/4

cot ∠DCH=CD/AD=8/6=4/3

Đáp án:

 Giải thích các bước giải:

a. Do tứ giác ABCD là hcn (gt)

⇒ AD//BC (tính chất)

⇒ ∠HAD=∠ACB (2 góc so le trong)

Xét tam giác ABC và tam giác DHA có:

∠HAD=∠ACB (cmt)

∠ABC=∠DHA=90 độ

⇒ Tam giác ABC đồng dạng tam giác DHA (g.g)

b. Xét tam giác CDH và tam giác CAD có:

∠CHD=∠CDA=90 độ 

∠ACD chung

⇒ Tam giác CDH đồng dạng tam giác CAD (g.g)

⇒ CH/CD=DH/AD (các cạnh tương ứng)

⇒ CH.AD=DH.CD

c. Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC²=AB²+BC² (định lí Py-ta-go)

⇒ 10²=8²+BC²

⇒ BC=6 (cm)

Xét tam giác ACD vuông tại D, đường cao DH có:

AD.DC=AC.DH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒ 6.8=10.DH

⇒ DH=4.8 (cm)

Xét tam giác ADH vuông tại H có:

AD²=HA²+HD²

⇒ 6²=HA²+4.8²

⇒ HA=3.6 (cm)

d. sin ∠DCH=AD/AC=6/10=3/5

cos ∠DCH=CD/AC=8/10=4/5

tan ∠DCH=AD/CD=6/8=3/4

cot ∠DCH=CD/AD=8/6=4/3