Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB =3CD. Gọi G là trong tâm tam giác SAB a) chứng minh DG // (SBC) b) gọi N là trong tâm tam giác SCD . Mặt phẳng (x) qua GN // AC thiết diện tạo bởi mp (x) và hình chóp SABCD là hình gì

Giải thích các bước giải:

a. Gọi M là điểm thuộc AB sao cho AM = 2MB

Vì ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD

⇒ MB // CD 

Lại có: $MB = CD = {1 \over 3}AB$

Suy ra: MBCD là hình bình hành 

⇒ MD // BC 

⇒ MD // (SBC) (1)

Gọi P là trung điểm của SB

Ta có: ${{AG} \over {AP}} = {{AM} \over {AB}} = {2 \over 3}$

(G là trọng tâm tam giác SAB, AM = 2MB)

Suy ra: GM // SB (Ta - let đảo)

⇒ GM // (SBC) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ (GMD) // (SBC) 

⇒ DG // (SBC)

b. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD

Gọi I là giao điểm của EF và AC; J là giao điểm của GN và SI

Trong tam giác SAC, kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA và SC tại A' và C'

Kéo dài C'N cắt SD tại D', kéo dài AG cắt SB tại B'

Thiết diện cần tìm là tứ giác A'B'C'D'.

Xét tam giác SEF có ${{SG} \over {SE}} = {{SN} \over {SF}} = {2 \over 3}$

(G, N là trọng tâm tam giác SAB, SCD)

⇒ GN // EF (Ta - let đảo)

Khi đó: ${{SJ} \over {SI}} = {{SN} \over {SF}} = {2 \over 3}$

Mà A'C' đi qua J và song song với AC

⇒ ${{SA'} \over {SA}} = {{SC'} \over {SC}} = {{SJ} \over {SI}} = {2 \over 3}$

Dễ chứng minh C'D' //CD, A'B' // AB

Vậy A'B'C'D' là hình thang.