Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang, AD=2BC. N thuộc SC :SN=2NC 1) tìm giao tuyến (ABN) và (SCD) 2) tìm giao điểm P của DN và (SAB). Tính tỉ số NP:ND

1. Gọi H là giao điểm của AB và CD.

Ta có: N ∈ (ABN), N ∈ (SCD) (Do N ∈ SC)

          H ∈ (ABN), H ∈ (SCD) (H ∈ AB, H ∈ CD)

Suy ra: NH ⊂ (ABN), NH ⊂ (SCD)

Hay NH là giao tuyến của (ABN) và (SCD)

2. Gọi P là giao điểm của DN và SH

Vì S ∈ (SAB), H ∈ (SAB) (H ∈ AB)

Nên P ∈ (SAB) hay P là giao điểm của DN và (SAB). 

Xét tam giác SHC có đường thẳng PD cắt 3 cạnh của tam giác tại P, N, D

Áp dụng định lý Menelaus ta có: 

Theo bài ra: AD = 2.AC ⇒ DH = 2.DC (Dễ chứng minh)

                    NS = 2.NC

Từ các giả thiết trên suy ra: PS = PH hay P là trung điểm của SH.

Gọi K là giao điểm của HN với SD trong mặt phẳng (SCD)

Chứng minh tương tự ta được: K là trung điểm của SD.

Vậy PK là đường trung bình thuộc cạnh HD của tam giác SHD.

Do đó: PK//CD và PK = $\frac{1}{2}$ .HD

Theo định lý Talet cho hình thang PKDH: 

$\frac{PK}{HD}$ = $\frac{PN}{ND}$ 

Suy ra: $\frac{PN}{ND}$ = $\frac{1}{2}$