Cho hệ phương trình (1):mx+2y=1 và 3x+(m+1)y=-1 Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, trong trường hợp m có nghiệm duy nhất tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm là số nguyên

Đáp án: $m \ne  - 3;m \ne 2;m \in \left\{ {1;3} \right\}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx + 2y = 1\\
3x + \left( {m + 1} \right).y =  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3mx + 6y = 3\\
3mx + m\left( {m + 1} \right).y =  - m
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m\left( {m + 1} \right).y - 6y =  - m - 3\\
3x + \left( {m + 1} \right).y =  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{m^2} + m - 6} \right).y =  - \left( {m + 3} \right)\\
3x =  - 1 - \left( {m + 1} \right).y
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m + 3} \right)\left( {m - 2} \right).y =  - \left( {m + 3} \right)\left( * \right)\\
x = \dfrac{{ - 1 - \left( {m + 1} \right).y}}{3}
\end{array} \right.
\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì pt (*) có nghiệm duy nhất

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {m - 2} \right) \ne 0\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne  - 3\\
m \ne 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - \left( {m + 3} \right)}}{{\left( {m + 3} \right).\left( {m - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{2 - m}}\\
 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1 - \left( {m + 1} \right).y}}{3}\\
 = \dfrac{{ - 1 - \left( {m + 1} \right).\dfrac{1}{{2 - m}}}}{3}\\
 = \dfrac{1}{{m - 2}}\\
 \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{{m - 2}};\dfrac{1}{{2 - m}}} \right)\\
Khi:x;y \in Z\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{m - 2}} \in Z\\
\dfrac{1}{{2 - m}} \in Z
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m - 2 \in \left\{ { - 1;1} \right\}\\
 \Leftrightarrow m \in \left\{ {1;3} \right\}\left( {tmdk} \right)\\
Vậy\,m \in \left\{ {1;3} \right\}
\end{array}$